벡터 연산
벡터 연산
벡터 연산(Vector Operation)은 데이터과학, 기계학습, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 하는 수학적 도구입니다. 특히 고차원 데이터를 처리하는 데이터과학에서는 벡터를 통해 데이터 포인트를 표현하고, 이를 기반으로 유사도 계산, 차원 축소, 모델 학습 등의 작업을 수행합니다. 본 문서에서는 벡터 연산의 기본 개념, 주요 연산 종류, 데이터과학에서의 응용 사례를 중심으로 설명합니다.
개요
벡터는 크기와 방향을 가진 수학적 객체로, 일반적으로 숫자의 순서 있는 배열로 표현됩니다. 예를 들어, 2차원 벡터는 (x, y) 형태로, 3차원 벡터는 (x, y, z) 형태로 나타내며, 데이터과학에서는 n차원 벡터를 통해 다양한 특성(feature)을 수치화하여 표현합니다.
벡터 연산은 이러한 벡터들 간에 수행할 수 있는 기본적인 수학적 작업으로, 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱, 내적(Dot Product), 외적(Cross Product), 정규화(Normalization) 등이 포함됩니다. 특히 내적과 노름(norm)은 머신러닝 알고리즘에서 유사도 측정, 손실 함수 정의 등에 널리 사용됩니다.
주요 벡터 연산
1. 벡터 덧셈과 뺄셈
두 벡터 A = [a₁, a₂, ..., aₙ]와 B = [b₁, b₂, ..., bₙ]에 대해, 덧셈과 뺄셈은 각 요소별로 수행됩니다.
-
덧셈:
A + B = [a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ] -
뺄셈:
A - B = [a₁ - b₁,₂ b₂, ..., aₙ - bₙ]
이 연산은 데이터 전처리 과정에서 피처 간의 조합이나 차이 분석에 활용됩니다.
2. 스칼라 곱 (Scalar Multiplication)
벡터에 실수(스칼라)를 곱하는 연산입니다. 벡터의 크기(길이)를 조정할 때 사용됩니다.
예:
c × A = [c×a₁, c×a₂, ..., c×aₙ]
(단, c는 스칼라)
이 연산은 데이터 정규화 또는 가중치 조정 시 자주 등장합니다.
3. 벡터의 노름 (Norm)
벡터의 크기 또는 길이를 의미하며, 가장 일반적으로 사용되는 것은 L2 노름(유클리드 노름)입니다.
- L2 노름:
||A||₂ = √(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)
노름은 벡터의 크기를 비교하거나 정규화(normalization)에 사용됩니다.
4. 내적 (Dot Product)
두 벡터의 내적은 각 요소를 곱한 후 그 합을 구하는 연산입니다.
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ
내적은 두 벡터 간의 유사도를 측정하는 데 매우 유용합니다. 특히, 내적을 노름으로 정규화하면 코사인 유사도(Cosine Similarity)가 됩니다.
코사인 유사도:
cos(θ) = (A · B) / (||A|| × ||B||)
값의 범위는 [-1, 1]이며, 1에 가까울수록 두 벡터는 방향이 유사합니다.
이 지표는 텍스트 마이닝, 추천 시스템 등에서 문서나 사용자 간 유사도를 계산할 때 핵심적으로 사용됩니다.
5. 외적 (Cross Product)
외적은 3차원 벡터에만 정의되며, 두 벡터에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다.
A × B = [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]
외적은 주로 물리학이나 3D 컴퓨터 그래픽스에서 사용되며, 데이터과학에서는 비교적 덜 사용됩니다.
데이터과학에서의 응용
1. 특성 벡터 (Feature Vector)
머신러닝 모델은 각 데이터 포인트를 특성 벡터로 표현합니다. 예를 들어, 고객의 나이, 소득, 구매 빈도 등을 하나의 벡터 [25, 50000, 12]로 표현하면, 이 벡터를 기반으로 분류나 회귀 분석이 수행됩니다.
2. 거리 계산
벡터 간의 거리는 클러스터링(예: K-평균), 이웃 탐색(예: KNN) 등에서 중요한 역할을 합니다.
3. 임베딩 (Embedding)
자연어 처리에서는 단어나 문장을 고차원 벡터로 변환하는 임베딩 기법(예: Word2Vec, BERT)을 사용합니다. 이 벡터들 간의 내적이나 코사인 유사도를 통해 의미적 유사성을 분석합니다.
예: "왕" - "남성" + "여성" ≈ "여왕" (벡터 연산을 통한 의미 추론)
참고 자료 및 관련 문서
- 선형대수 기초 - 위키백과
- 벡터 공간 - MathWorld
- 코사인 유사도 - scikit-learn 문서
- 관련 문서: 행렬 연산, 임베딩, 피처 스케일링, 주성분 분석(PCA)
벡터 연산은 데이터과학의 기초이자 핵심입니다. 단순한 수치 연산을 넘어, 데이터의 구조와 관계를 수학적으로 표현하고 분석하는 데 필수적인 도구로, 모든 데이터 과학자와 머신러닝 엔지니어는 이를 숙지해야 합니다.
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